21 岁的数学大师 —— 埃尔米特，第一个证明 e 是超越数的人

埃尔米特于 1822 年 12 月 24 日出生在法国。创造性的才能与掌握他人理论精华的能力，在他身上罕见地结合在了一起。而 19 世纪中叶所需要的，把高斯的算术创造与阿贝尔和雅可比在椭圆函数中的发现、以及由英国数学家布尔、凯莱和西尔维斯特发展的代数不变量理论协调在一起的，正是埃尔米特的这种能力。

当埃尔米特还是中学生时，就在图书馆里掌握了拉格朗日关于数字方程求解的论文。他还买了高斯的《算术研究》，而且掌握了它，而在这以前或以后，只有极少数人掌握了它。在埃尔米特领悟了高斯做过的数学研究后，他就准备开始自己的研究了。他后来说，从拉格朗日和高斯的著作中，我学会了代数。

《新数学年报》（创刊于 1842 年）第一卷收录了埃尔米特还是学生时写的两篇文章。第一篇文章是关于圆锥曲线的解析几何，没有显示出什么独创性。第二篇是《对五次方程代数解的探讨》。

埃尔米特说，

拉格朗日使一般五次方程的代数解依赖于确定一个特殊的六次方程的根，他称这个六次方程为简化方程（今天称为预解方程）…… 因此，如果这个简化方程可以分解成二次或三次的有理因子，我们就会得到五次方程的解。我将试着说明这样一个分解是不可能的。

埃尔米特在他的尝试中获得了成功，从而跻身了代数学家行列。奇怪的是，埃尔米特竟认为初等数学是困难的。他在学校的成绩很一般。

1842 年下半年，埃尔米特 20 岁时参加了综合工科学校的入学考试。但是成绩仅仅名列第 68 名。这次考试成了这位年轻数学大师的“污点”，他日后的全部成功也未能消除。

埃尔米特在综合工科学校只读了一年，这一年，他把他的时间都用在了阿贝尔函数上。阿贝尔函数是当时数学的研究热点和重点。他还结识了一位一流的数学家，刘维尔。

埃尔米特在阿贝尔函数方面的开拓性工作，在他 21 岁之前就开始了。1843 年，埃尔米特给雅克比写了一封信，

学习您关于从阿贝尔函数理论中产生的四重周期函数的论文，使我得出了一个定理，是关于这些函数的变量的分离的，类似于您给出的…… 得出由阿贝尔探讨的方程根的最简表示式的定理。

我大致解释一下所论问题的性质。三角函数是有一个变量、一个周期的函数，

其中 x 是变量，2π 是周期；阿贝尔和雅可比通过“逆转”椭圆积分，发现了有一个变量、两个周期的函数，比如说，

其中 p 和 q 是周期；雅可比发现了两个变量、四个周期的函数，比如说，

其中 a，b，c，d 是周期。在三角学中早期碰到的一个问题是用 sinx 表示

其中 n 是任意整数。埃尔米特要解决的是有两个变量四个周期的函数的相应问题；在埃尔米特的无与伦比的更困难的问题中，结果仍然是一个方程，关于这个方程，出人意料的是它能够代数求解，也就是说，用根式求解。

埃尔米特不仅同雅克比分享了在阿贝尔函数方面的发现，而且给他写了 4 封关于数论的长信。这些信件中的第一封是埃尔米特年仅 24 岁时写的，开辟了新的领域（我们不久就将指出是在什么方面），仅仅这些信就足以确立埃尔米特为一名富有创造力的第一流数学家。

雅可比证明了下面的论断∶有三个不同周期的单变量单值函数是不可能存在的。有一个周期或两个周期的单变量单值函数可以存在。

单值函数对变量的每一个值，只取一个值。

埃尔米特宣称，雅可比的这个定理给了他引进高等算术的思想。这些方法过于专业，无法在这里描述，但是可以简单地指出其中的思想。

高斯意义下的算术，讨论有理整数的性质。高斯特别研究了具有两个或三个未知数的不定方程的整数解，例如在

中，a，b，c，m 是任意整数，要求讨论方程的全部整数解 x，y。这里要注意的是，问题是确定的，并且得完全在有理整数域求解。要让用于研究连续数的“分析”，研究这样一个离散问题似乎是不可能的，而这正是埃尔米特所要做的。他从离散的系统表述开始，把分析应用于这个问题，最后在离散的领域得到结果。由于分析学比任何离散方法都发展得更为充分，因此埃尔米特的工作可与为中世纪的手工业引进现代机器相提并论。

在代数和分析这两方面，供埃尔米特使用的方法，比高斯在写《算术研究》时所能使用的方法有力得多。这些更现代的方法使埃尔米特能够解决在 1800 年让高斯困惑的问题。在一项进展中，埃尔米特赶上了高斯和爱森斯坦讨论过的那种类型的一般问题，他至少开始了任意多个未知数的二次型的算术研究。

算术“型理论”的一般性质，可以从一个特殊问题的陈述中看出来。代替两个未知量（x，y）的二次高斯方程

要求 s 个未知量 n 次的类似方程的整数解，其中 n，s 是任意整数，方程左边的每一项都是 n 次的。埃尔米特叙述了他在仔细思考之后，怎样看出了雅可比对于单值函数的周期性研究依赖于二次型理论中一些更深刻的问题，

在高斯先生给我们展现的这个无限广阔的研究领域中，代数和数论似乎必然会融进同一阶的分析概念，我们目前的知识还不足以让我们形成一个有关它的精确想法。

对于 x^3-1=0，理解

是既充分又必要的；对于 x^7+ax+b=0，其中 a，b 是任意已知数，为使 x 可以用 a，b 明显地表示出来，必须发明什么样的“数”x 呢？高斯提供了一类解答∶任意的根 x 是一个复数。但是这只是开始。阿贝尔证明了如果只允许作有限次的有理运算和开方，那么就不存在把 x 按 a，b 表示出来的显式。我们将在稍后再回到这个问题；埃尔米特甚至在更早的时候，就在心里的某个地方产生了他的一个最伟大的发现。

这里可以提到埃尔米特的一项算术研究（虽然它相当专业），作为纯数学的预言方面的一个例子。我们回想起高斯为了给双二次互反性以最简单的表述，把复整数引入高等算术中。然后狄利克雷讨论了这样一些二次型，其中作为变量和系数出现的有理整数，被高斯的复整数所代替。埃尔米特探讨了这种情形的一般情况，在今天所说的埃尔米特形式中研究了整数的表示。这样一种形式的一个例子（以两个复变量 x_1，x_2 和它们的共轭代替 n 个变量的特殊情形）是

a_12 和 a_21 是共轭的，且 a_11，a_22 是它们各自的共轭（因此 a_11，a_22 是实数）。非常容易就能够看出，如果把所有的积都乘出来，整个形式是实的（没有 i）。

当埃尔米特发明这样的形式时，他感兴趣的是发现什么样的数由这些形式表示。70 多年后，人们发现埃尔米特形式的代数在数理物理学中，特别是在现代量子理论中，是不可缺少的。埃尔米特不知道，他的纯数学会在他去世很久以后在科学上成为有价值的。

埃尔米特在代数不变量理论中的发明过于专业，无法在这里讨论。我们介绍他在其他领域中的两项惊人的成就。埃尔米特在两个领域中发现了一些他全部工作中最令人吃惊的独创性成果，这两个领域是一般五次方程和超越数。他在第一个领域中发现的性质，清楚地表现在他的短论《论一般五次方程的解》的引言中：

大家知道，一般五次方程能够由系数除平方根和立方根之外不用任何无理性确定的替换化简为下面的形式，

这就是说，如果我们能够解这个方程，那么我们就能解一般五次方程。

这个归功于英格兰数学家杰拉德（Jerrard）的卓越结果，是自阿贝尔证明了根式解不可能以来，在五次方程的代数理论中迈出的最重要的一步。阿贝尔证明的不可能性，表明了在寻找解答时，有必要引进某些新的分析元素（某种新的函数），因此，以我们刚刚提及的那个非常简单的方程的根作为辅助量，似乎是很自然的。然而，为了证明把它严格地用作一般方程解中的一个基本元素是合理的，还得了解形式的这个简单性是否能让我们得出关于其根的性质的一些想法，掌握这些量的存在方式上特殊的和基本的东西，我们对这些量，除了知道它们不能用根式表示这一事实之外，什么也不知道。

现在很值得注意的是，杰拉德的方程以其极大地简便运用于这项研究，并且在我们将要解释的意义上，可能有一个真正的分析解。因为我们也许确实可以从与长期以来由前四次方程的解所表明的、我们特别专注地解不同的观点，考虑方程的代数解的问题。

代替用一个包括多值根式的公式，表示被认为是系数的函数的、互相密切相联的根系，我们可以试图得到用多个互不相同的辅助变量的单值函数来分别表示的根，这些变量的个数有三次方程所用到的那么多。在这种情形下，所讨论的方程是

如我们所知道的，只要用一个角（比如说 A）的正弦表示系数 a，就足以把方程的根分别表示为如下确定的函数

埃尔米特在这里回顾了三次方程的“三角解”。“辅助变量”是 A；“单值函数”在这里是正弦函数。

现在的有关方程是

我们必须展示的是一个完全相似的事实。只是必须采用椭圆函数，而不是正弦和余弦函数……

然后，埃尔米特立即着手解一般五次方程，为此目的用了椭圆函数。要向非数学家解释这个问题，几乎是不可能的。打一个很不恰当的比方，埃尔米特发现了著名的“失去的和弦”，而当时没有人对这样一个无法捉摸的东西会存在于时空中的某处有过丝毫的猜疑。他的完全出人意料的成功轰动了数学界。更了不起的是，它开创了代数和分析学的一个新的部门，其中的主要问题是发现和研究那样一些函数，按照这些函数能够以有限形式明确地解出一般 n 次方程。目前所得到的最好结果，是埃尔米特的学生庞加莱得到的，他创造出了提供所需要的解的那些函数。这些函数实际上是椭圆函数的“自然”推广。被推广的那些函数的特征是周期性。

埃尔米特另一个轰动数学界的成果是，是证明了自然对数 e 的超越性，

e 大约为 2.718281828…。e 在现时的数学（纯数学和应用数学）中到处出现。“超越”的概念是极其简单，也是极为重要的。一个系数是有理整数的代数方程的任何根，称为代数数。不是代数数的“数”就称为超越数。

现在，给定任何根据某种确定规律构造的“数”，要问它是代数的还是超越的，是一个有意义的问题。例如，考虑下面简单定义的数

其中指数 2，6，24，120，… 是相继的“阶乘”，即 2=1×2，6=1×2×3，24=1×2×3×4，120=1×2×3×4×5，…。这个数是任何有理整系数代数方程的根吗？但其答案是否定的。另一方面，由无穷级数

确定的数是代数数；它是 99900x-1=0 的根。

第一个证明某些数是超越数的人，是刘维尔，他在 1844 年发现了很广泛的一类超越数，其中所有形为

的那些数，皆属最简单的超越数。但是要证明一个特定的数，如 e 或 π，是超越数或不是超越数，是非常困难的。所以当埃尔米特在 1873 年证明了 e 是超越数时，数学界不仅十分高兴，而且对证明的不可思议的精巧大为吃惊。

自埃尔米特那时以来，已经证明了许多数是超越数。1934 年，年轻的俄国数学家亚历克西斯・盖尔方德（Alexis Gelfond）证明了一切类型为

的数是超越数，其中 a 不是 0 和 1，b 是任意的无理代数数。这解决了希尔伯特 23 问中的第 7 问。

埃尔米特在证明 e 是超越数后，慕尼黑大学的林德曼证明了 π 是超越数，他用的方法与埃尔米特证明 e 的方法非常相似。这样就永远解决了“化圆为方”的问题。从林德曼证明的中，推断出不可能只用尺规画出面积等于任何给定的圆的正方形，这个问题从欧几里得时代开始，一直折磨着一代又一代的数学家。

附：关于 e 的超越性的证明（希尔伯特版）

首先，假设 e 是 n 次的代数数：

方程 1：如果 e 是 n 次的代数数，它满足这个方程。

我们用有理数逼近 e 的幂，定义了以下对象：

方程 2

其中，

对于方程 2 中 e 的每一次方，有：

对于非常小的 ϵ 函数，这个方程意味着所有 e^t 都非常接近一个有理数。现在我们将方程 2 代入方程 1，并消去因子 M，得到：

方程 3

注意，方程 1 和方程 3 中的 n 是相同的量。方程 3 有两个明显的特征：

第一个括号内的表达式是一个整数，M 使表达式不为零

在第二个表达式中，ϵ 将被选得足够小，以至于表达式的绝对值 < 1

式 1

定义 M 和 ϵ

埃尔米特首先定义了 M 和 ϵ。首先，他将 M 定义为：

其中 p 为质数。质数 p 可以取为我们想要的任意大（但是 M 对于 p 的任意值都是整数）。其他的 M 和 ϵ 的定义为：

方程 4

我们现在继续选择 p，以便满足上面的性质 1 和 2。

让我们先求积分 M 的值，把分子上的二项式乘出来，就得到了

它有积分系数。把这个代入 M，然后用

得到：

限定在大于 n 的质数上，我们马上就会发现这个方程的第一项不能被 p 整除。但是，我们很快就会发现第二项可以。展开阶乘：

因为 M 不能被 p 整除，所以方程 3 中的第一个括号也不能被 p 整除。现在考虑方程 4 中的第一个积分。引入变量 y：

积分变成：

分子括号里的多项式有积分系数项从

经过几个步骤，得到：

对于整数 cs。每个 M (k) 都是一个能被 p 整除的整数，因此，方程 3 中的第一个括号不能被 p 整除。因此，我们得出结论，方程 3 的第一个括号中的项是一个非零整数。如果它是 0，它就能被 p 整除，但我们得出的结论是不能。

剩下的最后一部分是证明，只要我们选择一个足够大的 p 值，证明式 1 是正确的。利用方程 4，经过几个步骤，我们发现：

如果这个二项式积的绝对值对 x∈[0,n] 有一个上界 B，我们得到：

由于 p → 无穷时 RHS → 0，得证。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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