看一看折纸所蕴含的数学原理

原文标题：《“你的折纸技术是数学老师教的吧？”》

大家小时候都玩过折纸吧？

今天就来跟大家分享一下我们从小玩到大的折纸中蕴含的数学故事。

一起折个五角星吧！

虽说我们中国人对五角星怀有特殊的感情，但人类对五角星的喜爱，却没有明显的界线。早在公元前的古希腊，人们便深为五角星的魅力所吸引。那不是一般的五角星，是毕达哥拉斯信徒们俱乐部的徽章！

图中的象征性数字，及如同现代立交桥那般的立体线条，使人们似乎感觉到一种无穷的运动，周期为 5，循环反复，永不休止!

不少读者在孩提时代，便已学会了用折纸的办法来剪五角星。下图直观地表现了这一折法的过程，各位小伙伴可以自己拿一张纸来试一试。

最后一剪似乎带有随意性，因而剪出的图形严格讲只能说是“五角星形”，而未必是正五角星。

折纸艺术貌似简单，但却包含着深刻的科学道理。折纸的方法也不是单一的。

就以折正五角星来说，人们完全不必用上面那样繁杂的折叠首发！实际上只要打 一个普通的结就足够了！所用的道具只是一条长长的纸带。

并不是所有的人都知道，我们天天司空见惯的打结动作，实际上正在创造一个又一个优美的正五角星。

靠“折”出来的抛物线

可能会有人以为，折纸只能折出直线的图形，因为折痕无论如何只能是直的。其实，这是一种误解！

足够多的直的折痕，有时也能围出优美的曲线。请你用纸剪出一个矩形纸片 ABCD。如同下图（a）那样折叠，使每次折后 A 点都落在 CD 边上。无数的折痕会像图（b）那样围出一条曲线。这样的曲线，在几何学上称为折痕的包络。

图（b）的包络曲线，是一段抛物线弧。当你抛掷石子的时候，会看到石子在空中划出一条美丽的弧线。这条弧线是由于石子同时受地心引力和惯性运动两者作 用的结果。假设你抛掷石子时与水平成 α 角，又石子出手时速度为 v0，则在时刻 t 石子运动的位置坐标 (x，y) 为：

消去时间 t 后，将得到一个关于 x 的二次函数。因此，二次函数的图像也称为抛物线。

有趣的是，当我们抛掷的初速度不变，而仅仅改变抛掷角时，将会得到如下图那样一系列的抛物线，这无数抛物线的包络，也形成一条抛物线，物理学上称为“安全抛物线”。

让我们回到折纸的课题上来，研究一下为什么前面讲到的 折痕包络是一条抛物线?

如图所示，以 AD 的中点 O 为原点，以 OD 为 Y 轴正向，建立直角坐标系。

令 AD=p，则 A 点的坐标为（0，- p / 2）; 设 A' 为 CD 上的任意一点，EF 为 A 折向 A' 时纸上的折痕；T 在 EF 上，满足 TA'⊥CD。下面我们证明：T 点的轨迹，即为折痕的包络曲线。

也就是说，T 点的轨迹是一段抛物线弧。剩下的问题是必须证明它与折痕相切。为此，令直线 AA' 的斜率为 k，则

注意到折痕 EF 为线段 AA' 的垂直平分线，容易求出直线 EF 的方程为

包络是微分几何研究的课题之一，1827 年，首创于德国数学家高斯。下图是又一种有趣的折纸包络。

剪一个圆形纸片，在圆片内任取一点 A，然后如下图（a）折叠纸片，使折后的圆弧通过 A 点，如此得到图（b）的无数折痕。这些折痕的包络，便是一个以 A 点和圆心为焦点，长轴为半径的椭圆。读者不妨亲自折一个试一试。

最为神奇的折纸，大约莫过于“三浦折叠法”。它是由日本宇宙科学研究所的三浦公亮教授发明的。这种折纸法，竟能使无生命的纸张具有“记忆”的功能！

大家知道，当我们想把一大张纸折小的时候，我们常用的是互相垂直的折叠方法。这种折叠法的折痕是“山”还是“谷”是互相独立的。从而各种可能的折法组合，总数极大！当一大张折好的纸完全展开时，很难让它重新折回到原来的位置。

另外这种互相垂直的折法，折缝往往叠得很厚，因而在张力的作用下，难免造成破损！ “三浦折叠法”也叫“双层波型可扩展曲面”，它不同于“互相垂直折叠法”的地方在于：纵向折缝微呈锯齿形。

这样，当你打开一张用三浦折叠法折叠的纸时，你会发现，只要抓住对角部分往任何方向一拉伸，纸张便会自动地同时向纵横两个方向打开。

同样，如果想折叠这样的纸张，只需随意挤压一方，纸便会回到原状，相当于记住了原样！用三浦折叠法折叠纸张，整张纸成了一个有机的连结体。它的折缝组合，只有全部展开与全部折返两种。因而不会因为折叠时折缝没有对齐而损坏。

上图（b）表示用“三浦折叠法”折叠时的情景。容易看出，这里的折缝是互相错开的。图（a）则是普通折叠法，不难发现，这里的折缝，在重叠处出现了危险的隆起！

今天，神奇的三浦折叠法已经取得了广泛应用。在人类征服太空的宏图中，对于建造大面积的太阳帆、人造月亮等方面，应用前景尤为突出！

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：张远南 张昶