一元三次方程解法的诞生过程，堪比“宫斗剧”

欧洲的代数学，是在卡尔达诺和塔尔塔里亚之间那场著名的论战之后，才有了真正的起步。要弄清这场震动数学界的论战的来龙去脉，我们还得分别讲起。

话说 16 世纪的最初几年，在意大利最古老的波伦亚大学，有一位叫费洛 (Ferlo，1465—1526) 的数学教授，他潜心于研究当时的世界难题 ——— 一元三次方程的公式解。

大家知道，尽管在古代的巴比伦和古代的中国，都已掌握了某些一元二次方程的解法，但一元二次方程的公式解，却是由中亚数学家阿尔・花拉子米 (Al-Khowarizmi，约 783— 约 850) 在 825 年给出的。花拉子米是把方程 x²+ax+b=0 改写为

的形式，从而得出方程的两个根

花拉子米之后，许多数学家曾为探求三次方程解法的奥秘进行过不懈的努力。但在 700 年的时间长河中，除了取得个别方程的特解之外，没有人能获得实质性进展。在严峻的现实面前，有些人却步了，他们怀疑这样的公式解根本不存在。然而费洛却不以为然，依旧执着地追求着。苍天不负有心人，他终于在不惑之年，取得了重大突破。

1505 年，费洛宣布，他本人找到了形如 x³+px=q 的三次方程的一个特别情形的解法。在那个时代，为了能在当时颇为流行的数学竞赛上一放光辉，数学家们都力图保持着自己发现的秘密，所以费洛当时没有公开发表自己的成果是不足为怪的。但是费洛终于没能找到一个得以显露自己才华的机会而抱恨逝去，以至于人们至今还无法完全解开费洛解法之谜。然而，人们似乎确切地知道，费洛曾把自己的方法传授给一个得意门生，威尼斯的佛罗雷都斯。

现在话题转到另外一边。意大利北部的布里西亚，有一个颇有小名气的青年人叫尼克罗・塔尔塔里亚。他原名方塔那，幼年丧父，家境贫寒，还受过九死一生的磨难。伤痛、恐惧和惊吓，留给他一个口齿不灵的毛病。后来他干脆改名为“塔尔塔里亚”，即意大利语“结巴”。

小塔尔塔里亚天资聪慧，勤奋好学。他研究物理，钻研数学，很快显露出超人的才华。尤其是他发表的一些论文，思路奇特，见地高远，表现了其相当深的数学造诣，从而一时间闻名遐迩。

塔尔塔里亚的自学成才，受到了当时科班出身的一些人的轻视和妒忌。

1530 年，布里西亚的一位数学教师科拉，向塔尔塔里亚提出了两个挑战性问题，想以此难倒对方。这两个问题是：

(1) 求 1 个数，其立方加上平方的 3 倍等于 5。

(2) 求 3 个数，其中第 2 个数比第 1 个数大 2，第 3 个数又比第 2 个数大 2，它们的积为 1000。

这实际是两道求三次方程实根的题，如果设题中的第 1 个数为 x，则第 1 道题的方程是 x³+3x²-5=0，第 2 道题的方程是 x³+6x²+8x-1000=0。塔尔塔里亚求出了这两个方程的实根，从而赢得了这场挑战，并为此名声大震。

消息传到波利亚大学。费洛的学生佛罗雷都斯听到，在布里西亚居然也有人会解三次方程，心中感到有点不是滋味。他原以为自己得名师单传，此生此世该是独一无二的，不料半路杀出一个“程咬金”，而且还是一个不登大雅之堂的小人物，怎能使人信服? 于是他们几经协商，终于决定于 1535 年 2 月 22 日，在意大利第二大城米兰，公开举行数学竞赛。双方各出 30 道题，在 2 小时之内决定胜负。

赛期渐近，塔尔塔里亚因自己是自学出山而感到有些紧张。他想，“佛罗雷都斯是费洛的弟子，说不准他会拿解三次方程来为难自己，那么自己要怎样去对付呢?”他又想，“自己已经掌握的一类解法跟费洛的解法相差多远呢?”他苦苦思索着，脑海中的思路不断进行着各种新的组合，这些新的组合终于撞击出灵感的火花。

在临赛前 8 天，塔尔塔里亚终于找到了进一步解三次方程的办法。为此他欣喜若狂，并充分利用剩下的 8 天时间，一面熟悉自己的新方法，一面精心构造了 30 道只有运用新方法才能解出的问题。

1535 年 2 月 22 日，米兰的哥特式大理石教堂内，人头攒动，热闹非凡，大家翘首等待着竞赛的到来。比赛开始了，双方所出的 30 道题都是令人眩目的三次方程问题。但见塔尔塔里亚从容不迫，运笔如飞，在不到 2 小时的时间内，解完了佛罗雷都斯的全部问题。与此同时，佛罗雷都斯提笔拈纸，望题兴叹，以 0∶30 败下阵来！

消息传出，数学界为之震动。在米兰市有一个人坐不住了，他就是当时驰名欧洲的医生卡尔达诺。卡尔达诺不仅医术颇高，而且精于数学，曾发表过不少数学论文，并精心研究过三次方程问题，但无所获。所以当他听到塔尔塔里亚已经掌握三次方程的解法时，满心希望能分享这一成果。

然而当时的塔尔塔里亚已经誉满欧洲，所以并不打算把自己的成果立即发表，而是醉心于完成《几何原本》的巨型译作。对众多的求教者，他一概拒之门外。当过医生的卡尔达诺，熟谙心理学的要领，以勤奋、刻苦、真诚打动塔尔塔里亚，使他似乎见到了自己幼年的影子，从而成了唯一的例外。1539 年，在卡尔达诺的再三恳求下，塔尔塔里亚终于同意把自己的秘诀传授给他，但有一个条件，就是要严守秘密。

然而，卡尔达诺并没有遵守这一诺言。1545 年，他用自己的名字发表了《大法》(ArsMagna，意即伟大的技艺) 一书，书中介绍了不完全三次方程的解法，并写道：

“大约 30 年前，波伦亚的费洛就发现了这一法则，并传授给威尼斯的佛罗雷都斯，后者曾与塔尔塔里亚进行过数学竞赛。塔尔塔里亚也发现了这一方法。在我的恳求下塔尔塔里亚把方法告诉了我，但没有给出证明。借助于此，我找到了若干证法，因其十分困难，现将其叙述如下。”

以上，就是后来人们把三次方程的求根公式，称作卡尔达诺公式的缘由。

卡尔达诺指出，对不完全三次方程

给出了它的解。

顺便要说的是，从完全三次方程 ax³+bx²+cx+d=0，到不完全三次方程，只需施行一个变换 y=x+b / 3a。这实际上只有一步之遥。

《大法》发表第二年，塔尔塔里亚发表了《种种疑问及发明》一文，谴责卡尔达诺背信弃义，并要求在米兰与卡尔达诺公开竞赛，一决雌雄。

然而，到参赛那天，出阵的并非卡尔达诺本人，而是他的天才学生，一位从小当过仆人，因才华出众而被卡尔达诺看中的青年人费拉里 (Ferrari，1522—1565)。此时的费拉里风华正茂，思维敏捷，能言善辩。他不仅掌握了解三次方程的要领，而且已经发现了四次方程的极为巧妙的解法。结结巴巴的塔尔塔里亚，哪是费拉里的对手，自然是不堪一击，狼狈败返！

此后，塔尔塔里亚虽然潜心于代数学的鸿篇巨制，但终因此番挫折，心神俱伤，于 1557 年溘然与世长辞，享年 58 岁。

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：张远南 张昶，编辑：张润昕

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