如何把圆等面积地变成正方形？这个问题困扰了数学家数千年

直觉告诉我们，给定一个圆，一定存在一个面积与之相等的正方形。可是这个正方形要怎样画出来呢？这个“化圆为方”的问题困扰了数学家几千年，他们先是证明了，仅靠尺规作图无法实现化圆为方，后来又思考：能否将圆分割成有限数量的碎块，再把这些碎块拼接成正方形呢？现在真的有数学家实现了这一点。

尺规作图难题

大约在公元前 450 年，古希腊数学家阿那克萨哥拉（Anaxagoras）提出了一个有趣的几何问题：只用直尺和圆规，能否作出一个与给定圆面积相等的正方形？这个看似简单的“化圆为方”问题成为了尺规作图领域的一道经典题目，在此后的 2000 多年里，许多数学家都尝试解答，但都没能成功。

这个问题之所以难以解答，在于它不仅是一个几何学问题，还是一个代数学问题。在尺规作图问题中，给定若干角度或线段长度，其实质是给出了若干实数；而只用无刻度的直尺和圆规作图这条规则，保证了作出的角度或线段的长度，是给定实数的和、差、积、商、平方根的组合。由此，每个尺规作图问题其实都对应着一个代数问题。

回到化圆为方问题。假设给定的圆的半径为单位长度 1，易知圆的面积为 π，而面积与之相等的正方形，边长应为√π。问能否用尺规做出这个边长的正方形，其对应的代数学问题是：已知 1，能否通过有限次加减乘除和开方运算，得到√π？

这个问题直到 1882 年才得到了最终的答案。德国数学家费迪南德・冯・林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明了，π（及其平方根）是超越数，即它不是任何有理系数多项式方程的根，也就无法通过有限次的代数运算得到。所以那个等价的代数学问题无解，于是，尺规作图下的化圆为方问题也就无解了。

把圆重组成正方形

尺规作图无法化圆为方，可要是抛开尺规作图的限制呢？1925 年，波兰裔美籍数学家阿尔弗雷德・塔尔斯基（Alfred Tarski）提出了另一个版本的化圆为方问题：能否将给定圆分割成有限数量的碎块，再将这些碎块重新拼接成一个正方形？碎块不能有剩余，拼接成的正方形也不能有缺口，圆和正方形的面积要相等。

这个版本的问题少了尺规作图的限制，但是要求不仅正方形的面积要和给定圆相等，构成它的每个部分也要来自给定圆 —— 这更接近“化圆为方”的字面意义。而且在两个版本的问题中，允许的操作次数都是有限的，因此新的化圆为方问题依然是一个难题。

塔尔斯基提出的问题在 1990 年有了答案。匈牙利数学家米克洛什・拉茨科维奇（Miklós Laczkovich）给出了证明：圆可以被分割重组成正方形。但是这种分割方式不是通常的剪刀能剪出来的，分割出来的碎块都拥有极其复杂的不规则形状。拉茨科维奇把这个几何问题转换成了一个图论问题，他用两种不同的顶点（vertices）集合画了一个图（graph）—— 一个顶点集合对应于圆，另一个对应于正方形 —— 然后在两个顶点集合之间建立了一一对应关系。最终他证明了，把一个圆分割成最多 10⁵⁰ 块，就可以将它们拼接成正方形，甚至不需要旋转这些碎块。

然而拉茨科维奇的证明并没有终结新的化圆为方问题。实际上，他只是做了存在性证明，也就是证明了化圆为方是可行的，但是没能给出具体的操作方式，也没能给出每个碎块的形状。通过他的证明，我们并不能知道这个圆到底是被怎样分割的。为了直观地理解化圆为方的过程，数学家仍然需要回到几何学，给出每个碎块形状的明确描述。

可视化尝试

时间来到 2016 年，英国兰开斯特大学的卢卡什・格拉博夫斯基（Łukasz Grabowski）以及华威大学的安德拉斯・马泰（András Máthé）、奥列格・皮库尔科（Oleg Pikhurko）发表了一篇论文，给出了分割圆的具体方法。在他们的证明中，分割圆得到的碎块，大多数都有明确的形状。他们还发现，这些碎块拼接在一起其实不能构成一个完整的正方形，仍然有一些小的“缝隙”需要额外的碎块来填充。但是这些碎块是如此之小，以至于它们并没有面积，数学家称之为“零测度的集合”。

“正方形的几乎所有部分都被拼接出来了，你甚至画不出缺失的部分，因为这一部分看起来是没有形状的。”加利福尼亚大学洛杉矶分校的数学家安德鲁・马克斯（Andrew Marks）评价说，尽管这种化圆为方方法仍需要额外的碎块，但依然是一个戏剧性的进步。

一年后，马克斯和现在在加拿大多伦多大学的斯潘塞・昂格尔（Spencer Unger）做出了改进，给出了第一个真正有效的化圆为方的方法。他们把圆分割成多达 10²⁰⁰ 块，重新拼接成了正方形，而且不会留下零测度的缺口。这些碎块的形状仍然非常复杂，尽管它们在数学上有明确的描述，但是很难可视化。

把等面积的圆和正方形分割成一堆相同的碎块，这样二者就可以相互转化了。（视频来源：András Máthé）

这给了数学家继续改进化圆为方方法的空间。马泰、皮库尔科和加拿大维多利亚大学的乔纳森・诺埃尔（Jonathan Noel）在此前发布的一篇预印本论文中，将圆分割成了同样约 10²⁰⁰ 块，但形状更为简单、更易可视化的碎块，并重组成了正方形。数学家仍然想进一步简化这些碎块，尤其是减少碎块的数量。马克斯做了一些计算机实验，表明可以只用 22 个碎块就能完成化圆为方的过程，他甚至认为这个数字还能减小，尽管没有给出证明。

“我敢打赌，在 20 块碎片以内就能把圆重新拼接成正方形，”马克斯说，“不过我不会下太大赌注。”

参考链接：

• https://www.quantamagazine.org/an-ancient-geometry-problem-falls-to-new-mathematical-techniques-20220208/

本文来自微信公众号：环球科学 （ID：huanqiukexue），撰文：白德凡，审校：二七

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